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机器学习之线性回归(纯python实现)
线性回归是机器学习中最基本的一个算法，大部分算法都是由基本的算法演变而来。本文着重用很简单的语言说一下线性回归。
线性回归
包括一元线性回归和多元线性回归，一元指的是只有一个x和一个y。通过一元对于线性回归有个基本的理解。
一元线性回归就是在数据中找到一条直线，以最小的误差来(Loss)来拟和数据。
上面提到的误差可以这样表示，假设那条直线如下图：
理想情况是所有点都落在直线上。退一步，希望所有点离直线的距离最近。简单起见，将距离求平方，误差可以表示为：
上面的i表示第i个数据。一般情况下对Loss求平均，来当作最终的损失。
最小化误差
找到最能拟合数据的直线，也就是最小化误差。
最小二乘法
上述公式只有m, b未知，因此可以看最一个m， b的二次方程，求Loss的问题就转变成了求极值问题。 这里不做详细说明。
另每个变量的偏导数为0， 求方程组的解。
梯度下降法
没有梯度下降就没有现在的深度学习。 最小二乘法可以一步到位，直接求出m，b。在大部分公式中是无法简单的直接计算的。而梯度下降通过一步一步的迭代，慢慢的去靠近那条最优的直线，因此需要不断的优化。 Loss的函数图像可以类比成一个碗。
初始化：
def init_data(): data = np.loadtxt('data.csv', delimiter=',') return datadef linear_regression(): learning_rate = 0.01 #步长 initial_b = 0 initial_m = 0 num_iter = 1000 #迭代次数 data = init_data() [b, m] = optimizer(data, initial_b, initial_m, learning_rate, num_iter) plot_data(data,b,m) print(b, m) return b, m 复制代码 优化器去做梯度下降：
def optimizer(data, initial_b, initial_m, learning_rate, num_iter): b = initial_b m = initial_m for i in range(num_iter): b, m = compute_gradient(b, m, data, learning_rate) # after = computer_error(b, m, data) if i % 100 == 0: print(i, computer_error(b, m, data)) # 损失函数，即误差 return [b, m] 复制代码
每次迭代计算梯度做参数更新：
def compute_gradient(b_cur, m_cur, data, learning_rate): b_gradient = 0 m_gradient = 0 N = float(len(data)) # # 偏导数， 梯度 for i in range(0, len(data)): x = data[i, 0] y = data[i, 1] b_gradient += -(2 / N) * (y - ((m_cur * x) + b_cur)) m_gradient += -(2 / N) * x * (y - ((m_cur * x) + b_cur)) #偏导数 new_b = b_cur - (learning_rate * b_gradient) new_m = m_cur - (learning_rate * m_gradient) return [new_b, new_m] 复制代码
Loss值的计算：
def computer_error(b, m, data): totalError = 0 x = data[:, 0] y = data[:, 1] totalError = (y - m * x - b) ** 2 totalError = np.sum(totalError, axis=0) return totalError / len(data)复制代码
执行函数计算结果：
if __name__ == '__main__': linear_regression()复制代码
运算结果如下：
0 3.26543633854100 1.41872132865200 1.36529867423300 1.34376973304400 1.33509372632500 1.33159735872600 1.330188348700 1.32962052693800 1.32939169917900 1.329299483251.23930380135 1.86724196887复制代码
可以看到，随着迭代次数的增加，Loss函数越来越逼近最小值，而m，b也越来越逼近最优解。
注意：
在上面的方法中，还是通过计算Loss的偏导数来最小化误差。上述方法在梯度已知的情况下，即肯定按照下降最快的方法到达碗底。那么在公式非常难以计算的情况下怎么去求最优解。此时求偏导数可以使用导数的定义，看另一个函数。
def optimizer_two(data, initial_b, initial_m, learning_rate, num_iter): b = initial_b m = initial_m while True: before = computer_error(b, m, data) b, m = compute_gradient(b, m, data, learning_rate) after = computer_error(b, m, data) if abs(after - before) < 0.0000001: #不断减小精度 break return [b, m] def compute_gradient_two(b_cur, m_cur, data, learning_rate): b_gradient = 0 m_gradient = 0 N = float(len(data)) delta = 0.0000001 for i in range(len(data)): x = data[i, 0] y = data[i, 1] # 利用导数的定义来计算梯度 b_gradient = (error(x, y, b_cur + delta, m_cur) - error(x, y, b_cur - delta, m_cur)) / (2*delta) m_gradient = (error(x, y, b_cur, m_cur + delta) - error(x, y, b_cur, m_cur - delta)) / (2*delta) b_gradient = b_gradient / N m_gradient = m_gradient / N # new_b = b_cur - (learning_rate * b_gradient) new_m = m_cur - (learning_rate * m_gradient) return [new_b, new_m] def error(x, y, b, m): return (y - (m * x) - b) ** 2 复制代码
上述两种中，迭代次数足够多都可以逼近最优解。 分别求得的最优解为： 1： 1.23930380135 1.86724196887 2： 1.24291450769 1.86676417482
简单比较
sklearn中有相应的方法求线性回归，其直接使用最小二乘法求最优解。简单实现以做个比较。
def scikit_learn(): data = init_data() y = data[:, 1] x = data[:, 0] x = (x.reshape(-1, 1)) linreg = LinearRegression() linreg.fit(x, y) print(linreg.coef_) print(linreg.intercept_)if __name__ == '__main__': # linear_regression() scikit_learn() 复制代码
此时求的解为： 1.24977978176 1.86585571。 可以说明上述计算结果比较满意，通过后期调整参数，可以达到比较好的效果。
源码和数据参考：
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